Die Duplikation als Zahlungsprofil einer Handelsstrategie zur Beurteilung unsicherer diskreter Zahlungsströme bei vollkommenem Kapitalmarkt
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Rudolf Pleier
Juni 2015
Nachfolgend werden die beim Thema ‚Das Mehrperiodenmodell zur Beurteilung unsicherer Zahlungsströme bei vollkommenem Kapitalmarkt‘ angegebenen Begriffe und Bezeichnungen verwendet. Zur Bewertung mittels des Marktmodells ((S,δ),
) sind nur Zahlungsströme
im Vektorraum 
= 1() der -adaptierten reellwertigen stochastischen Prozesse zugelassen. Außerdem soll die Bewertung nach dem Duplikationsprinzip („Pricing by Duplication“) erfolgen, bei dem das zu bewertende Zahlungsprofil X ∈ als das Zahlungsprofil
einer Handelsstrategie h ∈
N dupliziert (nachgebildet, erreicht) werden kann. Die Übereinstimmung der beiden Zahlungsprofile X und L(h) soll dabei für alle t ∈ I und ω ∈ Ω gelten, also insbesondere sicher bezüglich der Eintrittswahrscheinlichkeiten der Kursentwicklungen. Eine Duplikationsstrategie h ∈ L-1({X}) von X kann dann sicher und linearalgebraisch durch das Lösen des gestaffelten inhomogenen linearen Gleichungssystems
bestimmt werden. Die Gleichung (DP) stellt für die Komponenten htj(At-1,k) (j = 1,…,N) der Zustandsfunktionswerte ht(At-1,k) = (ht1(At-1,k),…,htN(At-1,k))⊤ der Handelsstrategie h ein gestaffeltes lineares Gleichungssystem dar:
hT+1 = 0, t ∈{T,T-1, …,0}, k ∈ {1,…,kt-1}, m ∈{1,…,kt} mit At,m ⊆ At-1,k. Beispielsweise erhält man für t = 1 das Gleichungssystem
aus k1 Gleichungen für die N Unbekannten h1j(Ω) (j = 1,…,N). Für t = 0 erhält man die einzige Gleichung
für die Berechnung der N Unbekannten h0j(Ω) (j = 1,…,N) oder für die unmittelbare Berechnung des Vermögenswertes
Falls noch der Portfoliowert V0(h) bei t = 0 für alle Duplikationsstrategien h von X konstant ist, kann der Preis π(X) von X bzw. der Wert von X zum Zeitpunkt t = 0 durch den deterministischen Startkapitaleinsatz V0(h) = S0δ(Ω)⊤h0(Ω) der Handelsstrategie h zum Zeitpunkt t = 0 definiert werden:
Falls zumindest für ein X ∈ L(N) diese Eigenschaft erfüllt ist, dass also V0(h) konstant für alle h ∈ L-1({X}) ist, so kann gezeigt werden, dass diese Eigenschaft dann auch für alle X ∈ L(N) vorliegt. Im Unterraum L(N) (⊆) der duplizierbaren Zahlungsprofile des Marktmodells ((S,δ),) gilt dann das so genannte Gesetz des eindeutig bestimmten Preises (englisch: Law of One Price, Abk.: LOP). Bei Gültigkeit des LOP kann der Preis π(X) eines Zahlungsprofils X ∈ L(N) auch noch ohne die Berechnung einer Duplikationsstrategie h ∈ L-1({X}) mit dem (normierten) Bewertungsprozess Ψ ∈ L*-1({b}) ⊆ 
⊥ \ ker L* (Ψ0 = 1) als das Skalarprodukt von Ψ und X bestimmt werden (siehe Thema ‚Das Mehrperiodenmodell zur Bewertung unsicherer Zahlungsströme bei vollkommenem Kapitalmarkt‘):
Wie beim Thema ‚Interpretationen der Bewertung nach dem Duplikationsprinzip im Mehrperiodenmodell‘ dargestellt wird, kann diese Duplikation von X mittels einer Handelsstrategie h ∈N auch als Duplizierung mit der Beurteilungskurve V(μ) = μ ⋅ (1,0,…,0)⊤ = μ ⋅ 10,Ω der Sofortentnahme und einem Supplement (Ergänzungsgeschäft) Z(X) vom Kapitalmarkt = L(ker V 0) = 
(N) des Marktmodells gedeutet werden. Weitere Interpretationen der Bewertung nach dem Duplikationsprinzip werden noch durch drei Arten von verallgemeinerten Diskontierungen gegeben. Die Abbildung 1 zeigt die Duplikation eines Zahlungsprofils X durch das Zahlungsprofil L(h) einer Handelsstrategie h.
Abb. 1 Die Duplikation eines Zahlungsprofils X mittels des Zahlungsprofils L(h) einer Handelsstrategie h (N = 1)
Abb. 2 Die Präzisierung der zeitlichen Entwicklung des Portfoliowerts mittels Vermögenswert Vt(h), Reinvestitionswert Rt(h) und Portfolioauszahlung Lt(h) zum Zeitpunkt t