Willkommen auf der Autoren-Website
von Dr. Dr. Rudolf Pleier
mit Themen der Finanzmathematik
Der Autor

Dr. Dr. Rudolf Pleier ist 1948 in Etzenricht in der Oberpfalz (Bayern) geboren. In den 1970er Jahren studierte er Mathematik und Physik an der Universität Würzburg mit dem Abschluss Diplom und Promotion. Bei seiner Existenzgründung wurden ihm verschiedene Finanzierungen angeboten, von denen er die optimale auswählen sollte. Inspiriert durch dieses Schlüsselerlebnis befasst er sich seit vielen Jahren mit der Finanzmathematik und insbesondere mit der Bewertung von Zahlungsströmen.

Etzenricht im Naturpark Nördlicher Oberpfälzer Wald
Die Bücher
Finanzmathematik - Die Bewertung von Zahlungsströmen
Das Buch gibt eine Einführung in die Bewertung sicherer und unsicherer diskreter Zahlungsströme. Es wendet sich an Studierende der Finanz- und Wirtschaftsmathematik im Grundstudium und ist zum Selbststudium geeignet.
Mittels einfacher Beispiele (Robinson beim Fischfang und Robinson auf dem Kartoffelmarkt) werden zunächst möglichst allgemeine Definitionen der Konzepte der Nachbildung (additiven Zerlegung, Duplizierung) und der Glattstellung (additiven Ergänzung, Replizierung) für die Beurteilung und den Vergleich von sicheren Zahlungsströmen X ∈ ℝn+1 bei unvollkommenem Kapitalmarkt in der Vektorschreibweise entwickelt. Verwendet werden dazu eine streng monoton steigende und an den Intervallgrenzen unbeschränkte Beurteilungskurve (Bewertungskurve, Zielsetzungskurve, Präferenzkurve) W(μ) im ℝn+1 und ein Supplementsystem L, d. h. ein Satz aus n linear unabhängigen Investitionen und n linear unabhängigen Finanzierungen, für die Bildung der Ergänzungsgeschäfte (Supplemente). Die verschiedenen Ansätze der Literatur von Fisher (1932) über Heister (1962) und Kruschwitz (1978) bis Grob (1999) ergeben sich als Spezialfälle. Für die mit den beiden Konzepten konstruierten Präferenzordnungen ⊵D,L,W und ⊵R,L,W werden die Eigenschaften und die Vielfalt beschrieben.
Die klassischen Methoden (Endwert-, Kapitalwert-, Zeitwert- und Annuitätenmethode) bei vollkommenem Kapitalmarkt und bestimmte Verallgemeinerungen dieser Methoden bei unvollkommenem Kapitalmarkt werden als spezielle Replizierungsmethoden jeweils mit spezieller Beurteilungskurve und speziellem Supplementsystem beschrieben. Damit können auch deren implizite Prämissen hinsichtlich der real benötigten Supplementmenge auf dem Kapitalmarkt exakt angegeben werden.
Für die vieldiskutierte klassische Methode des internen Zinssatzes wird das Mysterium ihres eingeschränkten Anwendungsbereichs aufgeklärt und eine universell einsetzbare Verallgemeinerung sowohl für die Beurteilung als auch für den Vergleich bereitgestellt. Mit einfacher Oberstufenmathematik, nämlich der Kurvendiskussion der Kapitalwertfunktion (Barwertfunktion) Bn(X,q) als Funktion des Zinsfaktors q, kann die Beurteilung eines Zahlungsstroms X ∈ ℝn+1 nach der Kapitalwertmethode (Barwertmethode) bzw. das Vorzeichen des Kapitalwerts (Barwerts) Bn(X,qK) zum Kalkulationszinsfaktor q = qK im Fall Bn(X,qK) ≠ 0 charakterisiert werden durch die Ungerad- bzw. Geradzahligkeit der Nullstellenanzahl rechts des Kalkulationszinsfaktors qK. Hinsichtlich einer Verallgemeinerung der Methode mit nicht eingeschränktem Anwendungsbereich ist also der Blick von einer einzigen irgendwie festgelegten Nullstelle qint zu lösen und auf die Gesamtheit der Nullstellen qj rechts von qK zu richten. Der Vergleich zweier Zahlungsströme X, Y ∈ ℝn+1 erfolgt durch die Beurteilung des Differenzzahlungsstroms D = X - Y. Diese verallgemeinerte Methode der Vielfachheiten der internen Zinsfaktoren ist dann äquivalent zu den anderen klassischen Methoden.
Zur Beurteilung unsicherer (zustandsabhängiger) Zahlungsprofile bei vollkommenem Kapitalmarkt erfolgt eine leicht verständliche Einführung in die moderne diskrete stochastische Finanzmathematik. Dabei werden aber auch etliche neue Charakterisierungen des Law of One Price und der Arbitragefreiheit direkt innerhalb des Mehrperiodenmodells hergeleitet. Außerdem werden fünf Brücken von der Beurteilung sicherer Zahlungsströme zur Beurteilung unsicherer Zahlungsströme geschlagen.
Blick ins Buch (Amazon): Finanzmathematik
Ausgewählte Themen: hier
Diskrete stochastische Finanzmathematik
Das Buch gibt eine leicht verständliche Einführung in die zeitdiskrete stochastische Finanzmathematik. Es wendet sich an Studierende der Finanz- und Wirtschaftsmathematik im Grundstudium und ist zum Selbststudium geeignet.
Die Bewertung zustandsabhängiger Zahlungsprofile erfolgt mit einem Marktmodell bei vollkommenem Kapitalmarkt nach dem Duplikationsprinzip. Die Behandlung des Mehrperiodenmodells kann dabei ohne Rückführung auf die enthaltenen Einperiodenmodelle dargestellt werden. Das Einperiodenmodell ergibt sich zwar als Spezialfall des Mehrperiodenmodells, wird aber dennoch auch noch ausführlich in seiner in der Literatur üblichen speziellen Schreibweise in den niedrigerdimensionalen Räumen beschrieben. Außerdem erfolgt eine gesonderte Betrachtung für den Spezialfall der endfälligen Zahlungen, die mit sog. selbstfinanzierenden Handelsstrategien dupliziert werden.
Es werden für das Mehrperiodenmodell, das Einperiodenmodell und den Spezialfall endfälliger Zahlungen etliche neue Charakterisierungen der zentralen Begriffe Law of One Price, Vollständigkeit und Arbitragefreiheit hergeleitet. Die Charakterisierungen erfolgen nicht nur durch Preisgleichungen, sondern auch durch Lagebeziehungen von bestimmten Unterräumen und des nichtnegativen Orthanten und können damit auch geometrisch visualisiert werden.
Im Mehrperiodenmodell wird für den Raum 𝒲 der ℱ-adaptierten reellwertigen Zahlungsprofile X und den Raum ℋN der ℱ-vorhersehbaren ℝN-wertigen Handelsstrategien h jeweils ein geeignetes Skalarprodukt bereitgestellt. Die lineare Abbildung L : ℋN → 𝒲, die jeder Handelsstrategie h die Portfolioauszahlung X = L(h) zuordnet, wird beschrieben durch eine Darstellungsmatrix in Form einer oberen Blockbidiagonalmatrix, deren Blöcke wiederum Blockdiagonalmatrizen sind. Es existiert dann die zur linearen Abbildung L eindeutig bestimmte adjungierte Abbildung L* : 𝒲 → ℋN, die als Darstellungsmatrix die Transponierte der Darstellungsmatrix von L besitzt. Für die Berechnung einer Duplikationsstrategie h eines Zahlungsprofils X wird durch Nutzung der speziellen Matrixstruktur ein hinsichtlich des Zeitparameters t und hinsichtlich der Partitionsmenge At‑1,k ∈ 𝒫t-1 gestaffeltes lineares Gleichungssystem angegeben. Es wird die Äquivalenz der Vollständigkeit (VS) des Mehrperiodenmodells zur Vollständigkeit aller enthaltenen Einperiodenmodelle begründet. Der Nachweis eines Bewertungsprozesses Ψ mit den Preisgleichungen für die Berechnung der Preise der duplizierbaren Zahlungsprofile bei gültigem Law of One Price (LOP) erfolgt auf drei verschiedenen Wegen, nämlich 1) mittels spezieller Unterraumstrukturen (𝒱 ∩ ℳ = O, ℳ⊥ = ker L* ⨁ lin Ψ, b = L*(Ψ) ∈ L*(𝒲)), 2) mit dem Rieszschen Darstellungssatz und 3) mit einem Alternativsatz der konvexen Geometrie. Dieser Alternativsatz liefert auch die Existenz eines Diskontierungsprozesses Φ bei Arbitragefreiheit (AF), die Existenz eines positiven Normalenvektors QT zum Unterraum ℳT der NE-Zahlungsprofile bei sf-Arbitragefreiheit (AFsf) und eine geometrische Interpretation des schrittweisen Übergangs vom LOP zur Arbitragefreiheit. Für die Berechnung eines Bewertungsprozesses Ψ wird ein gestaffeltes lineares Gleichungssystem angegeben. Es wird der Zusammenhang zwischen dem LOP im Mehrperiodenmodell und dem LOP in den enthaltenen Einperiodenmodellen untersucht und eine hinreichende Bedingung für deren Äquivalenz angegeben (Ψt(At,k) ≠ 0 ∀ t ∈ {0,…,T-1} und At,k ∈ 𝒫t). Weiter wird die Äquivalenz der Arbitragefreiheit (AF) des Mehrperiodenmodells zur Arbitragefreiheit der enthaltenen Einperiodenmodelle bewiesen. Für die vielzitierten Begriffe formale Maße und formale W-Maße, stochastischer Diskontierungsfaktor, Arrow-Debreu-Preis, Zustandspreis und Ereignispreis, Diskontvektor, Arrow-Debreu-Preisvektor, Zustandspreisvektor und Ereignispreisvektor, Diskontierungsvektor, Diskontierungsprozess, Zustandspreisprozess, deterministischer Diskontierungsfaktor, deterministischer Diskontierungsvektor, deterministischer Preisvektor, formale oder synthetische Preismaße und einheitliches Preismaß, Martingalmaß und risikoloses bzw. risikoneutrales Wahrscheinlichkeitsmaß werden die jeweiligen impliziten Voraussetzungen plausibel dargestellt: Arbitragefreiheit, Duplizierbarkeit bestimmter Arrow-Debreu-Papiere, Vollständigkeit des Marktmodells und Existenz so genannter festverzinslicher Handelsstrategien. Für die Bewertung der stochastischen Zahlungsprofile nach dem Duplikationsprinzip werden verschiedene Interpretationen angegeben und damit auch Brücken von der Bewertung deterministischer Zahlungsströme zur Bewertung stochastischer Zahlungsströme geschlagen. Es sind dies die Interpretation als Abstandsmessung zur Hyperebene der Kapitalmarktgeschäfte, als Beurteilung nach dem Duplizierungskonzept mit der Beurteilungskurve der Sofortentnahme und einem Ergänzungsgeschäft vom Kapitalmarkt und als Barwertberechnung auf drei Arten der Diskontierung.
Im Mehrperiodenmodell der endfälligen Zahlungen wird der erste und zweite Hauptsatz der Preistheorie verallgemeinert. Statt dividendenloser Marktmodelle werden jetzt auch dividendenversehene Marktmodelle zugelassen. Die sf-Arbitragefreiheit (AFsf) (d. h. das Fehlen von selbstfinanzierenden Arbitragegelegenheiten) wird nun charakterisiert durch die Existenz von mindestens einem positiven Normalenvektor Q zum Unterraum ℳT der NE-Zahlungsprofile (der sf-duplizierbaren Zahlungsprofile mit dem Startkapitaleinsatz bzw. Preis Null). Die sf-Vollständigkeit (VSsf) eines sf-arbitragefreien Marktmodells wird charakterisiert durch die Existenz von genau einem derartigen positiven Normalenvektor Q zu ℳT. Im Spezialfall eines dividendenlosen Marktmodells mit Numéraire wird die sf-Arbitragefreiheit (AFsf) charakterisiert durch die Existenz von einem o. E. auf die Komponentensumme κ(Q) = 1ΩTQ = 1 normierten positiven Normalenvektor
zum Unterraum
im relativen Marktmodell bzw. durch die Existenz von einem sog. äquivalenten Martingalmaß. Die Charakterisierung der sf-Arbitragefreiheit und der sf-Vollständigkeit erfolgt also sowohl linearalgebraisch mittels eines positiven Normalenvektors als auch wahrscheinlichkeitstheoretisch mittels eines äquivalenten Martingalmaßes. Ein κ-normierter positiver Normalenvektor ist im relativen Marktmodell (mit seinem konstanten Numéraire 1) stets ein Diskontvektor (positiver Bewertungsvektor), mit dem der Preis eines duplizierbaren Zahlungsprofils berechnet werden kann. Im ursprünglichen Marktmodell gilt dies jedoch nur unter zusätzlichen Voraussetzungen. Für ein Marktmodell mit Numéraire wird die Äquivalenz der sf-Arbitragefreiheit im Mehrperiodenmodell zur sf-Arbitragefreiheit in allen enthaltenen Einperiodenmodellen gezeigt (Einperiodenarbitrage, lokale Arbitrage; Beweis im relativen Marktmodell). Weiter wird der Zusammenhang zwischen der sf-Vollständigkeit (VSsf) im Mehrperiodenmodell und der Vollständigkeit in den enthaltenen Einperiodenmodellen untersucht und eine hinreichende Bedingung für deren Äquivalenz angegeben (St(At,k) ≠ 0 ∀ t ∈ {0,…,T-1}, At,k ∈ 𝒫t, LOP gültig in den enthaltenen Einperiodenmodellen). Der Nachweis eines Bewertungsvektors ΨT mit seinen Preisgleichungen für die Berechnung der Preise der sf-duplizierbaren endfälligen Zahlungsprofile XT bei gültigem Law of One Price erfolgt auf drei verschiedenen Wegen, nämlich 1) mittels spezieller Unterraumstrukturen (𝒱0 ∩ ℳT = O, ℳT⊥ =
⨁ lin ΨT), 2) mit dem Rieszschen Darstellungssatz und 3) durch Herleitung aus einem Bewertungsprozess Ψ mit seinen Preisgleichungen in L(ℋN) des allgemeinen Mehrperiodenmodells.
Im Spezialfall des Einperiodenmodells (T = 1) wird die Äquivalenz der verschiedenen Begriffe der Duplizierbarkeit und die Äquivalenz der verschiedenen Begriffe der Vollständigkeit begründet. Wie schon im Mehrperiodenmodell der endfälligen Zahlungsprofile gezeigt wird, sind auch im Einperiodenmodell verschiedene Begriffe des LOP äquivalent. Weiter ist im Einperiodenmodell das LOP äquivalent zur Existenz eines Bewertungsprozesses Ψ = (Ψ0,Ψ1)T und äquivalent zur Existenz eines Bewertungsvektors Ψ1. Außerdem ist die allgemeine Arbitragefreiheit (AF) äquivalent zur Existenz eines Diskontierungsprozesses (positiven Bewertungsprozesses) Φ = (Φ0,Φ1)T und äquivalent zur Existenz eines Diskontvektors (positiven Bewertungsvektors) Φ1. Die speziellere sf-Arbitragefreiheit (AFsf) ist dagegen nur äquivalent zur Existenz eines positiven Normalenvektors Q1 zum Unterraum ℳ1 der NE-Zahlungsprofile. Wie allgemeiner im Mehrperiodenmodell der endfälligen Zahlungsprofile liefert auch im Einperiodenmodell der positive ℳ1-Normalenvektor Q1 erst unter zusätzlichen Voraussetzungen und nach der κ-Normierung auf die Komponentensumme κ(Q1) = κ0 = π(1Ω) (> 0) auch einen Diskontvektor Φ1 für die Bewertung der Zahlungsprofile X1 ∈ ℝΩ. Speziell im Einperiodenmodell folgt dann aber auch die Existenz eines Diskontierungsprozesses Φ für die Bewertung der Zahlungsprofile (X0,X1) ∈ ℝ1+K und die allgemeine Arbitragefreiheit (AF).
Blick ins Buch (Amazon): Diskrete stochastische Finanzmathematik
Ausgewählte Themen: hier