Inhalt

Charakterisierung der Übereinstimmung von Endwert- und Barwert-Präferenzordnung bei gespaltenen Auf- und Abzinsungsfaktoren

Das Thema als PDF zum Download

Rudolf Pleier
Juni 2015

1 Der Endwert und der Barwert eines Zahlungsstroms

Der Endwert En(X) des Zahlungsstroms X = (X0,,Xn) ∈ ℝn+1 kann statt mit einem konstanten Kalkulationszinsfaktor allgemeiner mit fristigkeitsabhängigen Haben- und Soll-Aufzinsungsfaktoren aj,n,Dj(X) folgendermaßen definiert werden:

     n En  X   Q Xjaj,n,Dj X  AX X     j 0

mit dem orthantenweise konstanten Aufzinsungsvektor

AX   a    ,...,a      ,1  ,    0,n,D0 X    n 1,n,Dn 1 X

den für die Intervalle [j,n] vorgegebenen Aufzinsungsfaktoren aj,n,Dj(X) > 0 (j0,,n; an,n,D := 1 für D = H, S und dem j-ten Zinssatztypindex

      H  bei Xj C 0 Dj X     S  bei X @ 0.          j

 

Der Barwert (Kapitalwert, Kapitalgegenwartswert, Gegenwartswert, englisch: present value; bei Zahlungsströmen aus Einnahmen und Ausgaben, also mit Vorzeichenwechsel, auch Nettobarwert, englisch: netto present value) Bn(X) des Zahlungsstroms X = (X0,,Xn) ∈ ℝn+1 wird mit fristigkeitsabhängigen Haben- und Soll-Abzinsungsfaktoren (Diskontierungsfaktoren) d0,j,Fj(X) folgendermaßen definiert:

    n Bn X   Q Xjd0,j,Fj X  PX X     j 0

mit dem orthantenweise konstanten Abzinsungsvektor (Diskontierungsvektor)

PX   1,d0,1,F  X ,...,d0,n,F  X ,1  ,       1      n

den für die Intervalle [0,j] vorgegebenen Abzinsungsfaktoren d0,j,Fj(X) > 0 (j0,,n; d0,0,D := 1 für D = H, S und dem j-ten Zinssatztypindex

      S bei Xj A 0 Fj X     H bei X B 0.          j

 

2 Die ökonomische Interpretation des Endwerts und Barwerts jeweils als Margenwert einer Replizierung

Der Endwert En(X) ist die Endentnahme (der Margenendwert) ν(X) zum Zeitpunkt t = n bei einer speziellen Replizierung (Glattstellung) des Zahlungsstroms X,

X  S  X   ˆV  ν X  , S  X  > CMn,

nämlich bei der Replizierung mit dem Basiszahlungsstrom B = O, dem Bezugszahlungsstrom U = O, der Beurteilungskurve

W  μ   V  μ   ˆV μ   μ  en 1 μ   0,...,0,1

der Endentnahme und einem speziellen Supplementsystem L = L(RjEj ) von Termingeschäften SjH = RjH, SjS = - RjS  (j = 1,,n) mit den elementaren Zahlungsströmen

RjEj   ej  RjEj,n en 1   0,...,0, 1,0,...,0,RjEj,n

und den Komponenten RjEj,k = 0 für j-1, nRjEj,j-1 = -1 für k = j-1 und RjEj,n = aj-1,n,Ej > 0 für k = n (j = 1,,n, EjM = {H,S}).

Der Barwert (Kapitalwert) Bn(X) ist die Sofortentnahme (der Margenbarwert) ν(X) zum Zeitpunkt t = 0 bei einer speziellen Replizierung des Zahlungsstroms X,

 X  S  X   ¯V  ν X  , S X  > CMn,

nämlich bei der Replizierung mit dem Basiszahlungsstrom B = O, dem Bezugszahlungsstrom U = O, der Beurteilungskurve

       ¯ W  μ   V  μ   V μ   μ  e1 μ   1,0,...,0

der Sofortentnahme und einem speziellen Supplementsystem L = L(KjEj ) von Kassageschäften SjH = KjH, SjS = - KjS  (j = 1,,n) mit den elementaren Zahlungsströmen

Kj   Kj  e  e    Kj ,0,...,0,1,0,...,0  Ej  Ej,0 1  j 1  Ej,0

und den Komponenten KjEj,0 = - d0,j,Ej < 0 für k = 0, KjEj,k = 0 für ≠ 0, j  und KjEj,j = 1 für k = (j = 1,,n, EjM = {H,S}).

In der nachfolgenden Charakterisierung der Übereinstimmung von Barwert- und Endwert-Präferenzordnung wird die zu einem Supplementsystem L gehörige zulässige Supplementmenge CMn verwendet:

CMn      CE    E> Mn

mit den konvexen linearen Kegeln CE := cone LE = {S = LEλ : λ ≥ O}LE = (S1E1,,SnEn) L1 ×...× Ln, Lj = {SjH,SjS }, E Mn.

Die nachfolgende Abbildung 1 gehört zu einem Beispiel für n = 2, bei dem die Barwert- und die Endwert-Präferenzordnung übereinstimmen und die gemeinsame zulässige Supplementmenge CMn = C'Mn unvollkommen ist, also verschieden von einer Hyperebene HT,0 ist. Dabei wird auch der Linienkegel RMn dargestellt, der eine wichtige Rolle spielt bei der Untersuchung der Vielfalt der mittels Duplizierung und Replizierung erzeugten D- und R-Präferenzordnungen:

RMn   CMn 9  CMn  .

 

3 Die Übereinstimmung von Endwert- und Barwert-Präferenzordnung

Für den zum Supplementsystem L = L(RjEj ) gebildeten fiktiven Kapitalmarkt

K    cone L RjE  bℝn  1        j

sei die Arbitragefreiheit

AF   K  9 ℝn 01  O

vorausgesetzt, die durch die Ungleichungen

U A  aj,n,S Caj,n,H j  0,...,n

für die Aufzinsungsfaktoren charakterisiert wird. Die zu den Vergleichszeitpunkten m = 0 und m = n gehörige Barwert-Präferenzordnung ≽B und Endwert-Präferenzordnung ≽E stimmen genau dann überein, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1) Die zu den Supplementsystemen  L = L(KjEj ) und L' = L(RjEj ) gehörigen zulässigen Supplementmengen CMn = CMn(L) und C 'Mn = CMn(L') stimmen überein.

2) Der zu den beiden Vergleichszeitpunkten m = 0 und m = n gehörige Aufzinsungsfaktor a0,n,D0 ist kein gespaltener Aufzinsungsfaktor, d. h. es stimmen der Haben- und der Soll-Aufzinsungsfaktor überein:

a0,n,H  a0,n,S  a0,n.

Eine gleichwertige Bedingung ist

d0,n,H  d0,n,S  d0,n.

Diese Aussage ist ein Spezialfall von Satz 7.1 im unten angegebenen Buch ‚Finanzmathematik‘ auf Seite 428.

 

Abb. 1
Abb. 1 Die zulässige Supplementmenge CM2 und der Linienkegel RM2 der übereinstimmenden Barwert- und Endwert-Präferenzordnung für die Laufzeit n = 2 bei gespaltenem Auf- und Abzinsungsfaktor der Zinsperiode [0,1]

 

Im Spezialfall von nichtgespaltenen Auf- und Abzinsungsfaktoren stimmen die Barwert- und die Endwert-Präferenzordnung genau dann überein, wenn der Abzinsungsvektor T0 = (d0,0,,d0,n) (d0,0 = 1) und der Aufzinsungsvektor Tn = (a0,0,,an,n) (an,n = 1) sich nur um einen positiven konstanten Faktor unterscheiden. Diese Aussage ist ein Spezialfall von Zusatz 7.3 im Buch ‚Finanzmathematik‘ auf Seite 435f.

 

Literatur

Rudolf Pleier (2015), Finanzmathematik, BoD, Norderstedt, ISBN 978-3-7347-8662-4