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Das Einperiodenmodell als Spezialfall des Mehrperiodenmodells und in spezieller Darstellung

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Rudolf Pleier
Juni 2015 / Juli 2018

Nachfolgend werden die beim Thema „Das Mehrperiodenmodell zur Beurteilung unsicherer Zahlungsströme bei vollkommenem Kapitalmarkt“ angegebenen Begriffe und Bezeichnungen verwendet. Die für das Mehrperiodenmodell (englisch: multi-period model) hergeleiteten Charakterisierungen der zentralen Be­griffe Vollständigkeit, Law of One Price und Arbitragefreiheit werden nun in der speziellen Schreibweise des Einperiodenmodells (englisch: one period model) formuliert. Im Mehrperiodenmodell (T ∈ ℕ) kann eine Matrizenschreibweise für die lineare Abbildung

                                   

(Vt(h)(ω) = Stδ(ω)ht(ω),  Rt(h)(ω) = St(ω)ht+1(ω), t I = {0,,T}, ω Ω ={ω1,...,ωK}) durch 

                                   L(h) = L·h

mit der Matrix L gegeben werden:

mit

Eine ausführlichere Darstellung findet man im Buch des Autors.
 

Im Spezialfall des Einperiodenmodells (T = 1) erhält man für die Abbildung L die Darstellung

                               

also

                              

mit der (1+K)×2N-Darstellungsmatrix

                              

Die zur linearen Abbildung L : ℝ2N → ℝ1+K eindeutig bestimmte adjungierte Abbildung L* : ℝ1+K → ℝ2N besitzt die Darstellungsmatrix

                                

 

Neben den Matrizen L und L werden noch die Teilmatrizen

                             

und

                             

verwendet. Für die additive Zerlegung der linearen Abbildungen L und L*LT in deter­mi­nis­ti­schen und stochastischen Anteil erhält man im Einperiodenmodell die Matrix­darstellungen  

                             

mit

                           

Mit den Bildräumen und Kernen der linearen Abbildungen

                          DT : ℝN ™→ ℝK  und  D : ℝK →™ ℝN

lassen sich die Vektorräume N und K als direkte Summen von orthogonalen Komplementen darstellen:

                          N = ker DTD(ℝK),       (ker DT)= D(ℝK)

                          K = ker DDT(ℝN),       (ker D) = DT(ℝN).  

 

Das Einperiodenmodell ist nicht nur ein Spezialfall des Mehrperiodenmodells, sondern nimmt auch mit seiner in der Literatur gebräuchlichen speziellen Formulierung eine Sonderstellung ein. An die Stelle der Abbildungen L und LT in den Räumen 2N und 1+K können wie in der Literatur üblich die Abbildungen DT, S0T und D in den niedriger­dimensio­na­len Räumen N und K treten. Diese Darstellung wird ermöglicht durch die drei folgenden Ei­genschaften: 1) Die Handelsstrategien h = (h0,h1)T sind deterministisch, also die Zustandsfunkti­onen h0 und h1 auf Ω konstant und somit als N-Tupel h0, h1 ∈ ℝN zu beschreiben. 2) Im Zahlungsprofil X = (X0,X1)T 𝒲 ist die Zustandsfunktion X0 : Ω → ℝ deterministisch, also konstant auf Ω, sodass das zugehörige K-Tupel (X0,1,…,X0,K)T ∈ ℝK identische Komponen­ten X0,1 = … = X0,K = X0 besitzt und als Skalar X0 ∈ ℝ beschreibbar ist. Die Zustandsfunktion X1Ω → ℝ ist stochastisch und durch das K-Tupel (X1,1,…,X1,K)T ∈ ℝK darstellbar. 3) Da aufgrund der ersten Duplikationsgleichung der Wert der Nutzenfunktion für die Duplikationsstrategien h von X ∈ L(ℝ2N) sich auch mittels R0(h) =S0Th1  berech­nen lässt, kann man in der additiven Zerlegung von L den deterministischen Bewer­tungsterm mit außer Acht lassen und statt L zunächst nur die deterministi­sche Abbildung S0T und die stochastische Abbildung mit L‘ = (‑S0T,DT)T und schließlich nur noch die Abbil­dungen S0T und DT betrachten.        

 

1     Das Einperiodenmodell als Spezialfall des Mehrperiodenmodells

Ausgehend von den im Buch des Autors (bzw. im entsprechenden Thema dieser Website) für das Mehrperiodenmodell angegebenen Charakterisierungen der Vollständigkeit 

(VS)                   L(ℋN) = 𝒲

des Marktmodells ((S,δ),ℱ) (englisch: complete market model), der Gültigkeit des Law of One Price (Gesetz des eindeutig bestimmten Preises, Abk.: LOP) 

(LOP)              Für jedes X ∈ L(ℋN) gilt: V0(h) = S0δTh0  ist konstant ∀ h ∈  L‑1({X})  

und der Arbitragefreiheit (englisch: No-Arbitrage Principle, Arbitrage-Free Condition)

(AF)                ∄ h ∈ N mit V0(h) = S0δTh0 = 0  ∧  L(h) 0 (d. h. L(h) ≥ 0 und L(h) ≠ 0)

können diese in einfacher Weise als Charakterisierungen für den Spezialfall des Einperioden­mo­dells (T = 1) geschrieben werden: Dazu ersetzt man einfach die Begriffe N, 𝒲, b = (S0δ)0,Ω ∈ ℋN, 10,Ω ∈ 𝒲, ℰ = lin 10,Ω und L* durch 2N, 1+K, b = (S0δ,0)T ∈ ℝ2N, 10,Ω = (1,0)T ∈ ℝ1+K, ℰ =lin 10,Ω und LT. Diese Charakterisierungen werden vorneweg in Tabelle 1 aufgelistet. Dabei werden noch die folgenden Unterräume von 2N bzw. 1+K und Orthanten von 1+K verwendet:

                      ℬ := [b] :=lin {b},                                          ℬ= ker bT = ker V0,  

                     ℳ := L(ker V0) = L‘(ℝN) ⊆ L(ℝ2N),                ℳ = L*-1(ℬ) = ker LT,

                     𝒱  := {v0(h)10,Ω : h ∈ ℝ2N},

                     := lin 10,Ω = lin {L(b)} = L(ℬ) L(ℝ2N),      = {X ∈ ℝ1+K : X0 = 0},

                    = {X ∈ ℝ1+K : X ≥ 0 , X ≠ 0},                   = {X ∈ ℝ1+K : X > 0}.

Anschließend werden aber noch analoge Aussagen für das Einperiodenmodell mittels der in der Literatur übli­chen speziellen Darstellungsweise mit den linearen Abbildungen D, DT und S0T der niedriger­dimen­sio­nalen Räume N, K und ℝ in Tabelle 2 angegeben. Diese kön­nen entweder aus den Aussagen des Mehrperioden­modells abgelei­tet werden oder extra im Ein­periodenmodell bewie­sen werden. Damit er­hält man sowohl die bekannten Aussagen, die schon in der ausführlichen Darstellung des Einpe­riodenmodells bei Kremer (2011), S. 3–71, zu finden sind, als auch wei­tere neue Aussagen.  

 

Tab. 1  Die im Mehrperiodenmodell (T  ℕ) entwickelten Charakterisierungen der Duplizierbarkeit, der Vollstän­dig­keit, des Law of One Price und der Arbitrage­freiheit in der Formulierung für das Einperiodenmodell (T = 1)    

Duplizierbarkeit
(DP)

Vollständigkeit
(VS)

Law of One Price
(LOP)

LOP nicht gültig

(VS) ∧ LOP
(VS) ∧ 2N = 1+K
(VS) ∧ LOP ungültig

Arbitragefreiheit
(AF)

(VS) ∧ (AF)

 

2     Das Einperiodenmodell in der speziellen Darstellung in den niedrigerdimensionalen Räumen N und K     

2.1  Die Charakterisierungen der Vollständigkeit

Im Einperiodenmodell heißt ein Zah­lungsprofil

                        X = (X0,X1)T = (X0,X1(ω1),…, X1(ωK)) ∈ ℝ1+K,

dupli­zierbar (erreich­bar, absicherbar; englisch: attainable, hedge­able, marke­table), wenn X das bei der Abbildung L sich ergebende Bild Lh einer Han­dels­­strategie h ∈ ℝ2N ist. Die Überein­stim­mung der stochastischen Prozesse X und Lh soll dabei für beide Zeitpunkte t = 0, 1 und im Zeit­punkt t = 1 für alle Zustände ωkΩ (k =1,...,K) gel­ten, somit P-si­cher erfüllt sein (P ist das W-Maß auf ). X ist also genau dann duplizierbar, wenn das gestaffelte inhomogene lineare Gleichungs­system

lösbar ist. Die Bestimmung einer Duplikationsstrategie h von X ∈ L(ℝ2N) erfolgt also linear­algeb­raisch durch das Lösen eines linearen Gleichungssystems und nicht wahrschein­lich­keits­theore­tisch. Die tatsächlichen Eintrittswahrscheinlichkeiten P(ω) der Zustände ω ∈ Ω werden nicht be­nötigt. Da bei gültigem LOP jedes duplizierbare Zahlungsprofil X ∈ L(ℝ2N) durch den für seine Dupli­kationsstrategien h ∈ L‑1({X}) konstanten und deterministischen Wert π(X) = V0(h) =S0δh0 bewertet wird, ist diese Bewertung von X ebenfalls linearalgebraisch und nicht wahr­scheinlichkeitstheoretisch. Es handelt sich außerdem um einen relativen Bewertungsansatz, da hierzu eine spezielle Auswahl von Wertpapieren S j (j = 1,…,N) zugrunde gelegt ist und die Bewertung auf mittels Handels­strategien h dupli­zier­bare Zahlungspro­file X eingeschränkt ist.    

Die Vollständigkeit (VS) des Marktmodells bedeutet, dass jedes X = (X0,X1) ∈ ℝ1+K duplizierbar ist, also für beliebig vorgegebene X0 ∈ ℝ und X1 ∈ ℝK die beiden Gleichungen     

                      

lösbar sind. Da unter der mathematisch-technischen Voraussetzung  S0δ ≠ 0 die erste Glei­chung für beliebige X0 ∈ ℝ, h1 ∈ ℝN stets nach h0 auflösbar ist, ist dies gleichbedeutend zur Lösbarkeit von DTh1X1. In den niedrigerdimensionalen Räumen N und K des Einperiodenmodells wird die Vollständigkeit des Marktmodells also charakterisiert durch die Surjektivität der Abbildung DT : h1 ∈ ℝNDTh1 ∈ ℝK:           

                        (VS) ⇔ Im DT := DT(ℝN) = ℝK.

Wegen der Darstellung von K als direkte Summe

                       ℝK = Im DT ⊕ ker D,        (Im DT) = ker D,    

der orthogonalen Komplemente Im DT und ker D ist die Vollständigkeit (VS) auch äquivalent zu ker D = O = {0}, also zur Injektivität der linearen Abbildung D : X1 ∈ ℝKDX1 ∈ ℝN. Es gilt also auch           

                      (VS) ⇔ ker D = O.

 

2.2  Die Charakterisierungen des Law of One Price

Mit der Handelsstrategie

b := (b0,0) = (S0δ,0) ∈ ℋN bzw. ∈ ℝ2N

und dem davon aufgespannten eindimensionalen Unterraum ℬ := lin {b} von N bzw.2N erhält man die deterministische Linearform  

deren Kern

       

und dessen L-Bild   

als die Menge der Kapitalmarktgeschäfte (Begründung der Bezeichnung in der pdf-Datei). Im Einperiodenmodell gibt es für die Zahlungsströme Z ℳ die folgende Charakterisierung:

Aufgrund der Darstellung von 1+K als direkte Summe

 1+K = Im L‘ ⊕ ker L,              (Im L‘) = ker L,  

der orthogonalen Komplemente Im L‘ und ker L erhält man das orthogonale Komplement von ℳ durch  

Im Einperiodenmodell ist also im Raum 1+K die Menge ℳ der Kapitalmarktgeschäfte gegeben durch das Bild der Abbildung L‘,

und das orthogonale Komplement ℳ von ℳ durch den Kern der Abbildung L,

 

Im Mehrperiodenmodell ist das LOP äquivalent zur Inzidenz

b L*(𝒲),

also zur Existenz eines Ψ ∈ 𝒲 mit L*(Ψ) = b. Speziell im Einperiodenmodell bedeutet dies die Existenz eines Ψ = (Ψ01) ∈ ℝ1+K mit

also wegen S0δ ≠ 0 die Existenz eines Ψ = (Ψ01) ∈ ℝ1+K mit

 Wie allgemein im Mehrperiodenmodell, so ist also auch hier die Existenz eines Ψ ∈ ℝ1+K mit LΨ = b äquivalent zur Existenz eines Ψ ∈ ℳ mit Ψ0 = 1. Damit erhält man folgende wei­tere Charakterisierungen für das LOP:

Das LOP bedeutet also, dass im Kern von L= (-S0,D) ein nichttrivialer Vektor Ψ mit der ersten Komponente Ψ0 = 1 existiert, also S0 linear abhängig von den Spalten von D ist bzw. dass die erste Spalte S0 von L auch schon im Spaltenraum von D liegt. Diese Charakterisierung des LOP wird auch noch innerhalb der Räume N und K in der zugehörigen pdf-Datei bewiesen.    

In einem Einperiodenmodell mit gültigem LOP ist die Lösung Ψ1 von 1 = S0,

Ψ1Ψ1‘ + ker D mit einer speziellen Lösung Ψ1 von 1‘ = S0,

genau dann eindeutig bestimmt, wenn ker D = O, also das Marktmodell auch noch vollständig ist.

Aufgrund der Charakterisierung des LOP durch die Bedingung S0 ∈ Im D und wegen der Dar­stel­lung von N als direkte Summe

N = ker DTD(ℝK),       (ker DT)= D(ℝK)

der orthogonalen Komplemente Im D und ker DT ist das LOP auch äquivalent zu S0 ⊥ ker DT bzw. zu ker DT ⊆ [S0] = ker S0T und damit zu ker L‘ = ker S0 ∩ ker DT = ker DT:    

Für die Charakterisierung des LOP durch ker DT ⊆ ker S0T wird in der pdf-Datei auch noch eine Begründung in­nerhalb der Räume N und K angegeben. Eine graphische Darstellung die­ser geometrischen Situation wird in den Ab­bildungen 1 und 2 für die Zahlungsprofile X ∈ ℝ1+K und in Abbildung 3 für die Zahlungsprofile X1 ∈ ℝK gegeben.

 

Weiter ist im Mehrperiodenmodell das LOP äquivalent zur Gültigkeit der Preisgleichungen für die mittels L duplizierbaren (erreichbaren) Zahlungsprofile X = L(h) ∈ L(ℋN) mit einem Prozess Ψ ∈ 𝒲 (Ψ0 = 1):

Ein derartiger Prozess Ψ ∈ 𝒲 liefert für jedes Zahlungsprofil X L(ℋN) mit dem Skalarprodukt

von Ψ und X den Preis von X und wird daher als Bewertungsprozess für die duplizierbaren Zahlungsprofile X = L(h) ∈ L(ℋN) bezeichnet.

Im Einperiodenmodell bedeutet (PGΨ) die Existenz eines Bewertungsprozesses Ψ = (Ψ01) ∈ ℝ1+K, Ψ0 = 1, d. h. die Gültigkeit der Preisgleichung für die duplizierbaren Zahlungsprofile X = Lh  L(ℝ2N)

also die Existenz eines sog.  Bewertungsvektors Ψ1 ∈ ℝK für die duplizierbaren Zahlungsprofile X1DTh1DT(ℝN):

Für die Äquivalenz von LOP und (PGΨ1) wird in der zu diesem Thema gehörigen pdf-Datei auch noch eine Begründung innerhalb der Räume N und K angegeben. Weiter wird in der pdf-Datei begründet, dass das LOP für die X = (X0,X1)TL(ℝ2N) äquivalent ist zur Be­dingung

und zu dem folgenden Law of One Price für die X1DT(ℝN):   

Der Preis π1(X1) des zum Zeitpunkt t = 1 auftretenden Zahlungsprofils X1DTh1DT(ℝN) kann dann in Übereinstimmung mit dem Preis

des Zahlungsprofils Xˆ = (0,X1)TL(ℝ2N) (X0 = 0) durch S0h1 definiert werden:

Nach (PGΨ1) erhält man bei bekanntem Be­wertungsvektor Ψ1 den Preis π(Xˆ) von  Xˆ= (0,X1)TL(ℝ2N) und den Preis π1(X1) von X1DTh1DT(ℝN) auch als das Skalarpro­dukt von Ψ1 und X1, ohne eine Duplikationsstrategie be­rechnen zu müssen:

Demnach kann das Gleichungssystem (PGΨ1) als das System der Preisgleichungen für die mittels L duplizierbaren Zahlungsprofile Xˆ = (0,X1) = Lh  L(ℝ2N) ⊆ ℝ1+K bzw. für die stochastischen Anteile Xˆ = (0,X1)  der mittels L duplizierbaren Zahlungsprofile X = (X0,X1) = Lh  L(ℝ2N) ⊆ ℝ1+K bzw. für die mittels D duplizierbaren Zahlungsprofile X1D(ℝN) ⊆ ℝK angesehen werden kann. Bei Kremer (2011) wird im Einperiodenmodell nur der Spezialfall der Zahlungsprofile X = (X0,X1) ∈ ℝ1+K mit X0 = 0, X = ( 0,X1) = Xˆ = Lh  L(ℝ2N) bzw. der zum Zeitpunkt t = 1 gehörigen Zahlungsprofile X1 mit dem Preis π1(X1) = π(X) = S0h1 behandelt. 

 

Zur Formulierung weiterer Charakterisierungen der Begriffe Law of One Price und Arbitragefreiheit in den niedrigerdimensionalen Räumen N, ℝK und ℝ werden noch fol­gende Unterräume von N bzw. ℝK und Orthanten von K benötigt:

Es wird dabei die mathematisch-technische Voraussetzung U1DTS0 ≠ 0 verwendet. Die bei den nachfolgenden Bedingungen auftretenden stochastischen Vektoren Ψ1Φ1 ∈ ℳ1 \ ker D ⊆ ℝK werden als Bewertungsvektor bzw. Diskontvektor (Zustands(preis)vektor) für die duplizierbaren Zahlungs­profile X1DTh1DT(ℝN) bezeichnet. Die Beweise der Aussagen sind vollständig in der pdf-Datei angegeben.          

Bei den nachfolgenden Charakte­ri­sie­run­gen des Law of One Price und der Arbitragefreiheit werden nicht nur lineare Gleichungen für die Portfoliovektoren h1 ∈ ℝN bzw. h1 ∈ ker S0T, sondern auch Struktur und Lage­beziehungen für bestimmte Unterräume von N und K angegeben. Der Vorteil der neuen Charakterisierungen mittels der Vek­torunterräume besteht darin, dass sie bei­spielsweise durch die nachfolgende Abbildung 3 geometrisch visualisiert werden können. Ande­rerseits liefert eine geometrische Veranschaulichung auch eine Quelle für Vermutungen über weitere neue Ergebnisse. Der Vektorraum K der stochastischen Zahlungsprofile X1 lässt sich dar­stellen als di­rekte Summe der Unterräume DT(ℝN) und ker D und als direkte Summe von 1 und 1. Dabei liegt stets 1 in DT(ℝN und ker D in 1. In der Abbildung 4b ist dargestellt, dass bei ungülti­gem LOP sowohl der Unterraum 1 der NE-Zahlungsprofile (Nulleinsatz-Zahlungsprofile; Begründung der Bezeichnung in der pdf-Datei) mit dem Unterraum DT(ℝN) der dupli­zierbaren Zahlungsprofile X1 als auch der Unterraum 1 mit dem Unterraum ker D zu­sammen­fällt. In der Abbildung 4a sieht man dagegen, dass mit der Einstellung des LOP im Marktmodell der Unterraum 1 um eine Dimension kleiner ausfällt als der Unterraum DT(ℝN) und der Unter­raum 1 um eine Dimension größer wird als ker D. Im nichtleeren Be­reich 1  \ ker D liegt dann ein Bewertungsvektor Ψ1, mit dem der Preis π1(X1) eines duplizier­baren Zahlungs­profils X1 ∈ DT(ℝN)  als Skalarprodukt Ψ1TX1 und somit unabhängig von einer Duplika­tionsstrategie berechnet werden kann: Für diesen Vektor Ψ1 ∈ ℝK gilt nämlich o. E. 1 = S0, sodass für ein festes Zahlungsprofil X1 ∈ DT(ℝN) alle Duplikations­strategien h1 von X1 durch die deterministische lineare Nutzenfunktion h1 ↦ S0h1 mit dem gleichen Wert S0h1 Ψ1TDTh1Ψ1TX1 bewer­tet werden. Da dieser Wert mit dem Preis π(Xˆ) von Xˆ = (0,X1)TL(ℝ2N) überein­stimmt, wird er auch als Preis π1(X1) von X1 bezeichnet. Demzufolge ist die auf K defi­nierte Linearform π1(X1) = Ψ1TX1 eine lineare Nutzenfunktion, die auf DT(ℝN) den Preis von X1 liefert. 

 

Tab. 2  Die Charakterisierungen der Duplizierbarkeit, der Vollstän­dig­keit, des Law of One Price und der Arbitrage­freiheit in der speziellen Formulierung für das Einperiodenmodell mit den Abbildungen D, DT, S0T der niedrigerdimensionalen Räume 1+K und N   

Duplizierbarkeit
(DP)

Vollständigkeit
(VS)

Law of One Price
(LOP)

  

          

LOP nicht gültig

(VS) ∧ LOP

(VS) ∧ 2N = 1+K

(VS) ∧ N = K  

(VS) ∧ LOP ungültig

Arbitragefreiheit
(AF)

(VS) ∧ (AF)

 

 

a) LOP gültig:

Abb. 1a

b) LOP ungültig:

Abb. 1b

Abb. 1 Die verschiedenen Unterräume von 2N und 1+K und die linearen Abbildungen L und L:
a) bei gültigem LOP mit Bewertungsprozess Ψ bzw. bei vorliegender Arbitragefreiheit (AF) mit Zustandspreisprozess Φ;
b) bei ungültigem LOP   

 

a) VS und AF gültig:

Abb. 2a

b) VS und LOP gültig:

Abb. 2b

c) VS gültig und LOP ungültig:

Abb. 2c

Abb. 2 Die verschiedenen Unterräume von 2N und 1+K und die linearen Abbildungen L und L bei vollständigem Marktmodell und 
a) bei vorliegender Arbitragefreiheit (AF) mit Zustands­preis­prozess Φ,
b) bei gültigem LOP mit Bewertungsprozess Ψ
c) bei ungültigem LOP   

 

 

a) LOP gültig:

Abb. 3a

b) LOP ungültig:

Abb. 3b

 

 

 

 

 

 

 

Abb. 3 Die verschiedenen Unterräume von N und 1+K und die linearen Abbildungen L' und L':
a) bei gültigem LOP mit Bewertungsprozess Ψ bzw. bei vorliegender Arbitragefreiheit (AF) mit Zustandspreisprozess Φ;
b) bei ungültigem LOP   

 

a) LOP gültig:

Abb. 4a

b) LOP ungültig:

Abb. 4b

 

 

 

 

 

 

 

Abb. 4  Die verschiedenen Unterräume und Urbildmengen in N und K und die linearen Abbildungen S0T, DT, S0 und D:
a) bei gültigem LOP mit Bewertungsvektor Ψ1 bzw. bei vorliegender Arbitragefreiheit (AF) mit Zustandspreisvektor Φ1;
b) bei ungültigem LOP

 

a) VS und AF gültig:

Abb. 5a

b) VS und LOP gültig:

Abb. 5b

c) VS gültig und LOP ungültig:

Abb. 5c

Abb. 5  Die verschiedenen Unterräume und Urbildmengen in N und K und die linearen Abbildungen DT und bei vollständigem Marktmodell und 
a) bei vorliegender Arbitragefreiheit (AF) mit Zustands­preis­vektor Φ1,
b) bei gültigem LOP mit Bewertungsvektor Ψ1
c) bei ungültigem LOP   

 

2.3  Die Charakterisierungen der Arbitragefreiheit

2.3.1 Der Fundamentalsatz der Preistheorie 

 

Im (zeitdiskreten) Mehrperiodenmodell besagt der Fundamentalsatz der Preistheorie, dass die Arbitragefreiheit

des Marktmodells äquivalent ist zur Existenz eines stochastischen Prozesses

eines so genannten Zustands(preis)prozesses des Marktmodells. Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus dem Alternativsatz über die Disjunktheit eines linearen Unterraums ℳ von zum schwach positiven Orthanten (siehe entsprechendes Thema auf dieser Website)

der dem Alternativsatz von Stiemke über die Lösbarkeit von homogenen linearen Ungleichungssystemen entspricht.

Im Einperiodenmodell ist die Arbitragefreiheit (AF) folgendermaßen definiert und charakte­ri­siert:

Geometrisch bedeutet die Arbitragefreiheit (AF), dass in N bestimmte verallgemeinerte polyedrische Kegel leer sind. Beispielsweise ist für (AF0) {S0Th1 < 0 , DTh1 ≥ 0} = ∅ und für (AF1) {S0Th1 ≤ 0 , DTh1  0} = ∅. Weiter kann die Arbitragefreiheit (AF) geometrisch durch die Lage der S0T-Bilder von {DTh1 ≥ 0}, {DTh1 0} und {DTh1 = 0} = ker DT zur negativen bzw. nichtpositiven Halbachse in und durch die Lage der DT-Bilder von {S0Th1 < 0}, {S0Th1 ≤ 0} und {S0Th1 = 0} = ker S0T bezüglich des nichtnegativen bzw. schwach positiven Orthanten und des Nullpunkts O in K beschrieben werden:  

Die Arbitragefreiheit (AF) bedeutet, dass es in 1+K kein Kapitalmarktgeschäft Z = (Z0,Z1)T ∈ ℳ = L’(ℝN) gibt, das schwach positiv ist (Z  0). Sie kann aber in K nicht allein durch die spezielle Arbit­rage­freiheit (AF1.0) charakte­ri­siert werden, nach der es kein schwach positives NE-Zahlungsprofil Z1 ∈ ℳ1DT([S0]) = DT({S0Th1 = 0}) gibt. Viel­mehr muss im Allgemeinen in ℝK auch noch die spezielle Arbitragefreiheit (AF0) erfüllt sein, nach der auch kein nichtnega­ti­ves duplizier­bares Zah­lungsprofil X1 = DTh1DT(ℝN) existiert, für dessen Duplika­tions­strate­gie h1 der Wert S0Th1 ne­gativ ist. Im nachfolgenden Abschnitt 2.3.2 wird aber eine Zusatzvoraussetzung an das Marktmodell angegeben, unter der die spezielle Arbitragefreiheit (AF1.0) äquivalent ist zur allgemeinen Arbitrage­freiheit (AF) (also inklusive (AF0)). 

 

Im Einperiodenmodell ist nach dem Fundamentalsatz der Preistheorie die Arbitra­ge­freiheit (AF) äquivalent zur Exis­tenz eines Zustandspreisprozesses, d. h. eines positiven Pro­zesses Φ ∈ ℳ = ker LT, also eines Prozesses Φ = (Φ0,Φ1)T ∈ ℝ1+K mit

                        LTΦ  = 0  ∧ Φ > 0    

bzw.

                        1 = S0Φ0  ∧ Φ1 > 0, Φ0 > 0.       

Die Arbitragefreiheit (AF) bedeutet also die Existenz eines positiven Vektors Φ1 ∈ ℝK mit 1 = λS0 und λλ(Φ1) = Φ0 > 0. Das D-Bild 1 von Φ1 ist hier ein positives Vielfaches von S0. Ohne Einschränkung (ggf. durch Übergang von Φ zu Φ/Φ0) kann Φ als ein mit Φ0 = 1 nor­mier­ter Zustandspreisprozess (Diskontierungsprozess) gewählt werden. Die Arbitrage­freiheit ist also auch äquivalent zur Existenz eines Diskontierungsprozesses Φ ∈ ℝ1+K, d. h.    

                        Φ = (1,Φ1)T > 0  ,  LTΦ  = 0,  

bzw. zur Existenz eines sogenannten Diskontvektors (Zustands(preis)vektors) Φ1 ∈ ℝK mit den Eigenschaften     

                        Φ1 > 0  ,  1 = S0.       

In diesem Fall ist also der zum Zeitpunkt t = 0 gehörige deterministische Preisvektor S0, der in der Nutzenfunktion S0T den Bewertungsvektor für die Portfoliovektoren h1 darstellt, eine Posi­tivkombination (positive Linearkombination) der Spalten von D.  

Da der normierte Zustandspreisprozess Φ ein positiver Bewertungsprozess Ψ für die Zahlungs­profile X ∈ L(ℝ2N), 

                        Ψ ∈ ℳ  mit Ψ0 = 1 und Ψ > 0,

bzw. der Zustandspreisvektor Φ1 ein positiver Bewertungsvektor Ψ1 für die X1DT(ℝN),  

                        Ψ1 ∈ ℝK mit 1 = S0 und Ψ1 > 0, 

ist, stellt ein arbitragefreies Einperiodenmodell also ein Marktmodell dar, in dem das LOP gilt und zusätzlich der Bewer­tungs­prozess Φ bzw. der Be­wertungs­vektor Φ1 positiv gewählt werden kann. Damit erhält man aus den oben hergeleiteten Charakterisierungen des LOP mittels des Bewer­tungsvektors Ψ1 auch Charakterisierungen der Arbitragefreiheit, wenn man noch die Be­dingung Ψ1 = Φ1 > 0 hinzu­nimmt. Diese Charakterisierungen sind in Tabelle 2 aufge­führt. Bei­spielsweise ist ein arbitragefreies Einperiodenmodell dadurch charakterisiert, dass es einen positiven Vektor Φ1 ∈ ℝK gibt, mit dem die Preisgleichungen für alle duplizierbaren Zahlungsprofile X1DT(ℝN) gelten:

(PGΦ1)           Φ1 ∈ ℝK  mit Φ1 > 0  und  Φ1DTh1 = S0Th1  ∀ h1 ∈ ℝN.       

Weiter wird die Arbitragefreiheit im Einperiodenmodell dadurch charakterisiert, dass es einen posi­tiven Vektor Φ1 ∈ ℝK gibt, mit dem 1die direkte Summe von ker D und dem eindimen­sio­na­len Unterraum lin Φ1 ist:

                       1= ker D ⊕ lin Φ1.          

Für die duplizierbaren Zahlungsprofile X1DT(ℝN) = 𝒰1 ⊕ ℳ1 hat man die Darstellung

                        X1 = λU1 + Z1        

mit eindeutig bestimmten Beurteilungsparameter λ  , NE-Zahlungsprofil Z1 ∈ ℳ1 und dem Preis

                       π1(X1) = Φ1TX1 = λΦ1TU1 + Φ1TZ1 = λπ1(U1).   

Das gleichzeitige Auftreten der Arbitragefreiheit (AF) und Vollständigkeit (VS) ist äquiva­lent dazu, dass S0 genau ein D‑Urbild Φ1 besitzt und dieses Urbild Φ1 positiv ist:   

                          

In diesem Fall (AF)  (VS) ist dann

                                

 

2.3.2 Eine hinreichende Bedingung für die Äquivalenz der allgemeinen Arbi­trage­freiheit (AF) zur speziellen Arbitragefreiheit (AF1.0)     

Es wird nun ein Marktmodell betrachtet, für welches die Bedingung (AF1.0) der speziellen Arbit­ragefreiheit erfüllt ist. Es soll unter­sucht werden, ob unter einer Zusatzvoraussetzung dann auch die zweite Bedingung (AF0) für die allgemeine Arbitragefreiheit (AF) = (AF0) ∧ (AF1.0) gesi­chert werden kann.

Die spezielle Arbitragefreiheit

(AF1.0)    

ist nach dem Alternativsatz über die Disjunktheit eines linearen Unter­raums ℳ1 von K zum schwach positiven Orthanten   äqui­va­lent zur Existenz eines positi­ven Vektors Φ1 ∈ ℳ1D-1([S0]) (zur Darstellung von 1 als Urbild­menge siehe Beweisteil 8a), also eines positiven Urbildes in der D-Urbildmenge von [S0]:

 

Für beliebige Portfoliovektoren h1 ∈ ℝN bzw. für beliebige duplizierbare Zahlungsprofile X1 = DTh1 ∈ DT(ℝN) gilt dann die Gleichung 

(PGΦ1λ)         λS0Th1 = Φ1TDTh1.        

Über das Vorzeichen des zu Φ1 gehörigen Parameters λ(Φ1) wird hierbei nichts ausgesagt. Es kann gezeigt werden, dass ein positiver Parameter λ(Φ1) die Existenz eines Zustandspreisvektors Φ1 und damit die allgemeine Arbitragefreiheit (AF) sichert. Der Beweis hierfür und für die nachfolgenden Aussagen befindet sich in der zugehörigen pdf-Datei. Weiter kann gezeigt werden, dass unter der mathematisch-technischen Zusatzvoraussetzung

(SPDZ)           g1 ∈ ℝN bzw. Z1 = DTg1 ∈ DT(ℝN) mit  

umgekehrt die Bedingung λλ(Φ1) > 0 für jeden positiven Vektor Φ1 ∈ ℳ1D-1([S0]) auch notwendig für die Gültigkeit von (AF) bzw. (AF0) ist. Die Voraussetzung (SPDZ) besagt, dass in N die Menge nichtleer ist bzw. in K die Menge nichtleer ist, also ein schwach positives DT-Bild existiert. Unter den Voraussetzungen (SPDZ) und (AF1.0) gilt also für alle

       

Anstelle der Voraussetzung (SPDZ) wird nun die stärkere Zusatzvoraussetzung (GI) an das Markt­mo­dell gestellt, dass auf dem Kapitalmarkt ℳ = L‘(ℝN) ⊆ ℝ1+K des Marktmodells eine gewinn­bringende In­vestition Y = (Y0,Y1)TLk1 existiert. Bei dieser Investition Y ∈ ℝ1+K soll zum Zeitpunkt t = 0 eine Auszahlung Y0 < 0, zum Zeitpunkt t = 1 in jedem Zustand ωkΩ eine nichtnegative Zah­lung Y1(ωk) und in mindes­tens einem Zustand ωk‘ eine positive Zahlung Y1(ωk‘) erfolgen:    

(GI)                    

Die Voraussetzung (GI) bedeutet, dass in N die Menge

nichtleer, in K die Menge

  

nichtleer bzw. in 1+K die Menge

nichtleer ist. Mit (GI) ist also auch die Voraussetzung (SPDZ) erfüllt. Unter der stärkeren Voraussetzung (GI) kann aber aus der speziellen Arbitrage­frei­heit (AF1.0) (d. h. beim Fehlen der speziellen Arbitrage­gelegen­heiten h1 mit ) auch noch λ(Φ1) > 0  geschlossen werden. Damit ist dann (AF1.0) gleich­be­deu­tend zur allge­mei­nen Arbitragefreiheit (AF) (inklu­sive (AF0):      

 

2.3.3 Formales Wahrscheinlichkeitsmaß, Preismaß, Martingalmaß und risikoneutrales Wahr­schein­lich­keitsmaß       

In der pdf-Datei zu dem vorliegenden Thema werden noch einige in der Literatur vielzitierte Begriffe im Einperioden­modell erläutert. Es sind dies die in der Überschrift aufgeführten Bezeichnungen und außerdem die Begriffe Arrow-Debreu-Preis, Er­eig­nis­preis, Zustandspreis, Zustands­preis­vektor, stochastischer Diskon­tie­rungs­fak­tor, de­termi­nis­ti­scher Diskon­tie­rungs­faktor und risikoneutrale Bewertung. Mittels der Duplizierbarkeit bestimmter Arrow-Debreu-Zahlungs­profile (1C, C ⊆ Ω) werden dabei auch die meist weniger beachteten impliziten Prämissen dargestellt, unter denen die Begriffe erst einen Sinn haben. Bei der Behandlung des Martingalmaßes tritt an die Stelle der beim Mehrperiodenmodell verwendeten bedingten Erwartung  hier beim Einperiodenmodell nur der Erwartungswert. Im Einperiodenmodell sind die impliziten Prämissen für die Existenz des auf Ꮘ(Ω) definierten formalen W-Maßes Q1 die Arbitragefreiheit (AF), für das Martingalmaß Q1, das risikoneutrale bzw. risikolose Wahrscheinlichkeitsmaß Q1 und die risikoneutrale Bewertung die Arbitragefreiheit (AF) und Voraussetzung (DP1Ω). Die Voraussetzung (DP1Ω) entspricht dabei auch der Voraussetzung (FH) der Existenz einer festverzins­li­chen Handelsstrategie. Die impliziten Prämissen für das Preismaß Q1 sind die Arbitragefreiheit (AF) und die Vollständigkeit (VS).

 

Literatur

[1]   Jürgen Kremer (2011), Portfoliotheorie, Risikomanagement und die Bewertung von Derivaten, Springer, Berlin Heidelberg, ISBN 978-3-642-20867-6

[2]   Rudolf Pleier (2015), Finanzmathematik, BoD, Norderstedt, ISBN 978-3-7347-8662-4

[3]   Rudolf Pleier (2018), Diskrete stochastische Finanzmathematik, Pro Business, Berlin, ISBN 978-3-96409-023-2