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Ein streng monotoner Effektivzinssatz

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Rudolf Pleier
Juni 2015

 

Für die in der Praxis verbreitete Ansicht, dass bei einer Finanzierung höhere Kreditgebühren bzw. höhere Rückzahlun­gen einen höheren Effektivzinsfaktor und umgekehrt Tilgungszuschüsse einen niedrigeren Ef­fektivzinsfaktor bewirken, kann zunächst für den Fall von regulären Fi­nanzierungen eine mathematische Begründung gegeben werden. Dabei ist eine reguläre Finan­zierung definitionsgemäß eine Finanzierung X = (X0,X1,…,Xn)T ∈ ℝn+1 (X0 > 0) mit genau einem Vorzeichenwechsel in der Zahlungsfolge. Bei der (strengen) Monotonie der Effektivzinsfaktor-Funktion (Interner Zinsfaktor-Funktion) qint(X) werden nur Argumente (unabhängige Variable) X, Y ∈ ℝn+1 betrachtet, die mittels der natürlichen Halbordnung ≥ (bzw. der strengen Halbord­nung ) verglichen werden können.      

 

Satz 1 Die Abhängigkeit des Effektivzinssatzes einer regulären Finanzierung von Ge­büh­ren bzw. von Til­gungs­zuschüssen

1) Erhält man bei einer vorgegebenen regulären Finanzierung Y ∈ ℝn+1 (Y0 > 0) durch die Ver­einbarung von zu allen Zeitpunkten j = 0,…,n möglichen zusätzli­chen Gebühren Gj ≥ 0 wieder eine reguläre Finanzie­rung

            XYDD = ‑ G   O,

so erhöht sich der nominelle Kreditzinsfaktor (Nominalzinsfaktor, interne Zinsfak­tor) qYqint(Y) des nominel­len Zahlungsstroms Y auf den größeren Effektivzinsfaktor qXqint(X) des effektiven Zahlungsstroms XqX > qY.     

2) Werden dagegen zur regulären Finanzierung Y noch zusätzlich Tilgungszu­schüsse Bj ≥ 0 vereinbart und ist auch der resultierende Zahlungsstrom

            X = Y + DD = + B   O,

noch eine reguläre Finanzierung, so erniedrigt sich der Kreditzinsfaktor qYqint(Y) von Y auf den kleineren Ef­fektivzinsfaktor qXqint(X) von X: qX < qY

Die gleichzeitige Hinzunahme von Gebühren und Zuschüssen ist hier nicht zuge­lassen.

3) Insgesamt erhält man aus 1) und 2) für direkt vergleichbare reguläre Finanzie­rungen X, Y ∈ ℝn+1 (X ≠ Y) und ihre eindeutig bestimmten positiven internen Zinsfaktoren qXqint(X) und qYqint(Y) die Aussagen:

            i)  X  Y •⇒ qX > qY     

            ii) X  Y •⇒ qX < qY.

 

Abb. 1
Abb. 1 Die Graphen der Barwertfunktionen Bn(X,q) und Bn(Y,q) der direkt vergleichbaren regulären Finanzie­run­gen X und Y mit DX - Y  O und den inter­nen Zins­faktoren qX = qint(X) > qY = qint(Y)

 

Ein analoger Satz kann auch für direkt vergleichbare reguläre Investitionen (Anlagen, X0 < 0) mit Ge­bühren oder Sparzuschüssen (Boni) formu­liert werden. Insgesamt ist dann sowohl für reguläre Finan­zierungen als auch für reguläre Investitionen die Interner Zinsfaktor-Funktion streng mono­ton. Sie ist für reguläre Finanzierungen streng monoton fallend und für reguläre Investitionen streng monoton steigend.

Für diesen Satz werden in der zu diesem Thema gehörigen pdf-Datei zwei Beweise angegeben. Ein erster kurzer und einfacher Beweis verwendet die Vorzeichenverteilung der Barwertfunktion einer regulären Finanzierung auf der positiven Halbachse ]0,∞[. Mit diesem ersten Beweisweg lässt sich der Satz auch noch verallgemeinern auf NU-Finanzierungen (Z0 > 0) bzw. NU-Investitionen (Z0 < 0). Für eine NU-Finanzierung Z hat die Barwert­funktion Bn(q) := Bn(Z,q) genau die im Beweis beschriebene Vorzeichenverteilung auf der positiven Halbachse: Bn(q) besitzt also genau eine positive Nullstelle. Diese ist noch eine Vorzeichenwechselstelle bzw. eine Nullstelle von ungerader Vielfachheit (Ordnung). Durch Beispiele kann gezeigt werden, dass die Aussage des Satzes für einen Zahlungsstrom, der nicht eine NU-Finanzierung oder eine NU-Investition ist, im Allgemeinen nicht gültig ist.

Ein zweiter aufwendigerer Beweis verwendet den Satz über implizite Funkti­onen, um die Existenz und strenge Monotonie der lokalen Interner Zinsfaktor-Funktion nachzu­weisen. Weiter verwendet er, dass die Menge Φ der regulären Finanzierungen wegzusammen­hängend ist und je zwei direkt vergleichbare Punkte X und Y dieser Menge Φ durch eine mono­ton steigende Kurve verbunden werden können. Der zweite Beweisweg liefert auch noch weitere Aussagen über die lokale Interner Zinsfaktor-Funktion.    

 

Abb. 2
Abb. 2 Die Graphen der Barwertfunktionen Bn(X,q) und Bn(Y,q) der direkt vergleichbaren NU-Finanzie­run­gen X und Y mit DX - Y  O und den inter­nen Zins­faktoren qX = qint(X) > qY = qint(Y)