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Das Mehrperiodenmodell zur Bewertung unsicherer zeitdiskreter Zahlungsströme bei vollkommenem Kapitalmarkt

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Rudolf Pleier
Juni 2015

Zur Formulierung von Aussagen zur Bewertung nach dem Duplikationsprinzip im Mehrperiodenmodell und zu den zentralen Begriffen Gesetz des eindeutig bestimmten Preises, Arbitragefreiheit und Vollständigkeit des Marktmodells sind zunächst Begriffe zur Beschreibung des zeitdiskreten Marktmodells, bei T = 1 des Einperiodenmodells (englisch: one period model) und bei T > 1 des Mehrperiodenmodells (englisch: multi-period model), vorzustellen.

Für das Marktmodell werden N Finanzinstrumente (Wertpapiere) Sj ausgewählt und die endlich vielen Kursentwicklungen des zugehörigen Preisvektors

über der Zeitparametermenge I = {0,,T} mathematisch modelliert. Die Kursentwicklungen liefern den endlichen Zustandsraum Ω = {ω1,K}  (|Ω| = K), so dass der Preisvektor S = (S1,,SN)T ein N-dimensionaler stochastischer Prozess über I x Ω ist. Neben dem Preisprozess S wird noch ein Dividendenprozess δ und der kombinierte Prozess Sδ=S+ δ betrachtet.  Der im Zeitverlauf stattfindende Wissenszuwachs über den Preisprozess S wird durch die zugehörige natürliche Filtration 𝒫 = (𝒫t)tI von Partitionen 𝒫t = {At,1,,At,kt} (k I, 𝒫0 = {Ω}, 𝒫T = {{ω1},,K}}) von Ω bzw. die Filtration ℱ = (t)tI von σ-Algebren  t =σ(𝒫t) über Ω beschrieben. Damit liegt der Preisprozess S im Untervektorraum 𝒲N = 𝒲N (ℱ) der  ℱ-adaptierten N-wertigen stochastischen Prozesse

 

deren Zustandsfunktionen Xt  t-messbar sind. Für die Eintrittswahrscheinlichkeiten P({ω}) der Kursentwicklungen ω  Ω kann o. B. d. A. deren Positivität vorausgesetzt werden. Es wird sich zeigen, dass diese bei der im Mehrperiodenmodell erfolgenden Bewertung von Zahlungsströmen gar nicht benötigt werden. Zur Beschreibung eines Portfolios der N Wertpapiere Sj werden sog. Handelsstrategien verwendet, d. h. ℱ-vorhersehbare Handelsprozesse h, deren Zustandsfunktionen ht  t-1-messbar sind. Deren Gesamtheit bildet den in 𝒲N  gelegenen Unterraum N = ℋN (ℱ). Zur Präzisierung der zeitlichen Entwicklung des zur Handelsstrategie h gehörigen Portfoliowertes dienen der Vermögensprozess V(h) = Sδh, der durch die Zustandsfunktionen Rt(h) = Stht+1 (t I) definierte Reinvestitionsprozess R(h) und das (Aus)Zahlungsprofil

 

Zur Bewertung mittels des Marktmodells sind nur Zahlungsströme

im Vektorraum 𝒲 = 𝒲1(ℱ) der ℱ-adaptierten reellwertigen stochastischen Prozesse zugelassen. Außerdem soll die Bewertung nach dem Duplikationsprinzip erfolgen, bei dem das zu bewertende Zahlungsprofil X ∈ 𝒲 als das Zahlungsprofil L(h) einer Handelsstrategie h ∈ ℋN dupliziert (nachgebildet, erreicht) werden kann: Die Übereinstimmung der beiden Zahlungsprofile X und L(h) soll dabei für alle t I und ω Ω gelten, also insbesondere sicher bezüglich der Eintrittswahrscheinlichkeiten P(ω) der Kursentwicklungen ω Ω. Eine Duplikationsstrategie h L-1({X}) von X kann dann sicher und linearalgebraisch (also nicht wahrscheinlichkeitstheoretisch) durch das Lösen des gestaffelten inhomogenen linearen Gleichungssystems

bestimmt werden. Eine ausführlichere Darstellung des linearen Gleichungssystems (DP) findet man beim Thema „Die Duplikation als Zahlungsprofil einer Handelsstrategie zur Beurteilung unsicherer diskreter Zah­lungs­ströme“. Falls noch der Portfoliowert V0(h) bei t = 0 für alle Duplikationsstrategien h von X konstant ist, kann der Preis π(X) von X bzw. der Wert von X zum Zeitpunkt t = 0 durch den deterministischen Startkapitaleinsatz V0(h) = S0δ(Ω)h0(Ω) der Handelsstrategie h zum Zeitpunkt t = 0 definiert werden:

Falls nun diese Eigenschaft zumindest für ein X L(ℋN) erfüllt ist, so kann gezeigt werden, dass sie dann auch für alle ∈ L(ℋN) vorliegt. Im Unterraum L(ℋN) (⊆ 𝒲) des Marktmodells ((S,δ),ℱ) gilt dann das so genannte Gesetz des eindeutig bestimmten Preises (englisch: Law of One Price, Abk.: LOP) und alle X L(ℋN) können mit der Nutzenfunktion π(X) bewertet und verglichen werden:

Aufgrund der für eine Duplikationsstrategie h von X gültigen Beziehung

   S0δh0 = V0(h) = X0 + R0(h)= X0 + S0h1

ist die Bedingung (LOP) äquivalent zur Bedingung

Bei gültigem LOP kann also jedes duplizierbare Zahlungsprofil ∈ L(ℋN) durch den für seine Dupli­kationsstrategien h L-1({X}) konstanten Wert V0(h) =: π(X) des Startkapitaleinsatzes, den Preis von X, bewertet werden. Diese Bewertung von X ist aufgrund der P-sicheren Defini­tion der Duplikation mittels einer Handelsstrategie h und wegen der deterministischen Berech­nung des Werts V0(h) = S0δh0 einer Duplikationsstrategie h bzw. des Preises π(X) von X linearal­gebraisch und nicht wahrscheinlichkeitstheoretisch. Es handelt sich hierbei außerdem um einen relativen Bewertungsansatz wegen der speziellen Auswahl der zugrunde gelegten Wertpapiere S j (j = 1,…,N) und der Einschränkung der Bewertung auf Zahlungspro­file ∈ L(ℋN) ⊆ 𝒲(ℱ), die mittels (ℱ-vor­hersehbarer) Handelsstrategien dupli­zier­bar sind.           

Das Marktmodell heißt vollständig (englisch: complete market model), wenn jedes Zahlungsprofil X ∈ 𝒲 durch eine Handelsstrategie h ∈ ℋN duplizierbar ist, wenn also das Bild L(ℋN) der Abbildung L den gesamten Zielraum 𝒲 ausfüllt:

 

Weiter gilt im Marktmodell ((S,δ),ℱ) die Arbitragefreiheit (englisch: No-Arbitrage Principle, Arbitrage-Free Condition), wenn es keine Arbitragegelegenheit h ∈ ℋN, d. h. keine Handelsstrategie h ohne Startkapitaleinsatz (V0(h)= 0) und dennoch mit schwach positivem Zahlungsprofil L(h) gibt:

  

Dabei bedeutet L(h) >. 0, dass Lt(h)(ω) ≥ 0 für alle (t,ω) ∈ × Ω und Lt'(h)(ω') > 0 für mindestens ein Paar (t',ω') ∈ × Ω gilt.

 

Für die Vektorräume N und 𝒲 wird jeweils mit einer endlichen Basis (ht,At-1,j = 1t,At-1,j ∈ ℋN, t I, At-1 ∈ 𝒫t-1, j J = {1,,N}  bzw.  wt,At = 1t,At𝒲, t I, At𝒫t) die Isomorphie zu einem passenden n gezeigt. Demzufolge können die Handelsstrategien h ∈ ℋN und die Zahlungsprofile X ∈ 𝒲 auch mit den zugehörigen Koordinaten-Tupeln identifiziert werden. Außerdem können diese Vektorräume jeweils mit einem Skalarprodukt

 

ausgestattet werden, das mit dem Standardskalarprodukt der Koordinaten-Tupel übereinstimmt. Beispielsweise erhält man dann mit der deterministischen Handelsstrategie

b = (S0δ)0 ∈ ℋN,

die für t = 0 den Wert S0δ(Ω) und für t = 1,,T den Wert Null annimmt, den Portfoliowert V0(h) als das Skalarprodukt der Handelsstrategien b und h bzw. der zugehörigen Koordinaten-Tupel b und h:

 

Mit der zu diesem Bewertungsprozess b ∈ ℋN gehörigen Nutzenfunktion V0(h) = bh können alle Handelsstrategien h ∈ ℋN bewertet und verglichen werden.

Da der Vektorraum N eine endliche Dimension besitzt, existiert zur linearen Abbildung L : N → 𝒲 auch die eindeutig bestimmte adjungierte Abbildung L* : 𝒲 → N mit der definierenden Eigenschaft

Mit den Bildräumen und Kernen der linearen Abbildungen L und L* lassen sich die Vektorräume N und 𝒲 als direkte Summen von orthogonalen Komplementen darstellen:

Weiter existiert für die lineare Abbildung L die additive Zerlegung

in deterministischen Anteil ˘V(h) = V0(h)10  (10𝒲 ist gleich 1 für t = 0 und gleich 0 für t > 0) und stochastischen Anteil ˘L(h). Entsprechend gilt für die adjungierte Abbildung

 

mit deterministischem Anteil und stochastischem Anteil  

 

1  Charakterisierungen der Begriffe Duplizierbarkeit, Vollständigkeit, Law of One Price und Arbitragefreiheit

Zur Formulierung verschiedener Charakterisierungen der oben genannten Begriffe in der nachfolgenden Tabelle 1 werden noch folgende Unterräume von N bzw. 𝒲 und Orthanten von 𝒲 benötigt:

         

Die dabei auftretenden stochastischen Prozesse Ψ, Φ ∈ ℳ\ ker L* 𝒲 mit Ψ0 = 1 und Φ0 = 1 werden als Bewertungsprozess bzw. Diskontierungsprozess oder Zustands(preis)prozess bezeichnet. Bei den Charakterisierungen des Law of One Price und der Arbitragefreiheit werden nachfolgend nicht nur lineare Gleichungen für die h ∈ ℋN bzw. h ∈ ker V0 = ℬ, sondern auch Lagebeziehungen für bestimmte Unterräume vonN und 𝒲 angegeben.

 

Tab. 1 Die Charakterisierungen der Duplizierbarkeit, der Vollständigkeit, des Law of One Price und der Arbitragefreiheit beim Mehrperiodenmodell (m = dim N, n1 = dim 𝒲)

Duplizierbarkeit
(DP)
Vollständigkeit
(VS)
Law of One Price
(LOP)
LOP nicht gültig
(VS) ∧ LOP
(VS) ∧ m = n1
(VS) ∧ LOP ungültig
Arbitragefreiheit
(AF)
(VS) ∧ (AF)

Die Charakterisierung des LOP durch die Preisgleichungen ΨL(h) = V0(h), h ∈ ℋN, mit einem Ψ ∈ 𝒲 findet man bei Kremer (2011), S. 171, wobei dort V0(h) = S0δh0 und noch nicht die Darstellung V0(h) = bh verwendet wird. Die Charakterisierung der Arbitragefreiheit durch die Preisgleichungen ΦL(h) = V0(h), h ∈ ℋN  bzw. h ∈ ker V0, mit einem positiven Φ ∈ 𝒲 findet man bei Kremer (2011), S. 175, 176, mit V0(h) = S0δh0 und noch ohne die Darstellung V0(h) = bh.  

Der Vorteil der neuen Charakterisierungen mittels der Struktur und Lagebeziehungen von Vektorunterräumen besteht nun darin, dass sie geometrisch visualisiert werden können. Andererseits kann die geome­tri­sche Veranschaulichung auch als Quelle für Vermutungen über weitere neue Erkennt­nisse dienen. Beispielsweise lässt sich der Vektorraum 𝒲 der ℱ-adaptierten stochastischen Prozesse darstellen als direkte Summe der Unterräume L(N) und ker L* und als direkte Summe von ℳ und . Dabei liegt stets ℳ in L(N) und ker L* in . In der Abbildung 2 ist dargestellt, dass bei ungültigem LOP sowohl der Unterraum ℳ der Kapitalmarktgeschäfte mit dem Unterraum L(N) der duplizierbaren Zahlungsströme als auch der Unterraum mit dem Unterraum ker L* zusammenfällt. In der Abbildung 1 sieht man dagegen, dass mit der Einstellung des LOP im Marktmodell der Unterraum ℳ um eine Dimension kleiner ausfällt als der Unterraum  L(N) und der Unterraum um eine Dimension größer wird als ker L*. Im nichtleeren Bereich \ ker L* liegt dann der Bewertungsprozess Ψ (Ψ0 = 1), mit dem der Preis π(X) eines duplizierbaren Zahlungsprofils X L(N) als Skalarprodukt

@Ψ,X ÌW  Ψ¸8càºBX

und somit unabhängig von einer Duplikationsstrategie berechnet werden kann: Für diesen Pro­zess Ψ gilt nämlich L*(Ψ) = b, sodass für ein festes Zahlungsprofil X L(N) alle Duplikations­strategien h von X bei Verwendung der deterministischen linearen Nutzenfunktion

                                   V0(h) = bh,

die h durch den deterministischen Startkapitaleinsatz zum Zeitpunkt t = 0 beurteilt, mit dem glei­chen Wert

                                   bhL*(Ψ)ThΨTL(h) = ΨTX 

bewertet werden. Demzufolge kann der Startkapital­einsatz V0(h) = bh einer beliebi­gen Duplikations­strate­gie h von X dann auch zur Bewertung von X und die Linearform π(X) = ΨTX  als lineare Nutzenfunktion auf L(N) verwendet werden.

Bei gleichzeitigem Vorliegen der Voraussetzungen (LOP) und (VS) existiert genau eine Linearform πΨT auf 𝒲, die auf L(N) gemäß den Gleichungen (PGΨ) die Preise liefert. Bei gleichzeitiger Gültigkeit von (AF) und (VS) existiert genau eine Linearform πΦT auf 𝒲, die auf L(N) gemäß den Gleichungen (PGΦ) die Preise liefert, und diese Linearform ist noch eine sog. positive Linearform (π(X) > 0 für alle X ).

Bei diesen Betrachtungen stellt sich auch die Frage, ob die hier für das zeitdiskrete Marktmodell angegebenen geometrischen Charakterisierungen von (LOP), (AF) und (VS) auch ein Analogon im zeitkontinuierlichen Marktmodell aufweisen. 

Beweise für die Charakterisierungen des LOP und der Arbitragefreiheit findet man in der pdf-Datei zu diesem Thema.

 

Abb. 1
Abb. 1 Die verschiedenen Unterräume von N und 𝒲, die linearen Abbildungen L, L* und π, der Bewertungsprozess Ψ bei gültigem LOP und der Zustandspreisprozess Φ bei Arbitragefreiheit


Abb. 2
Abb. 2 Die verschiedenen Unterräume von N und 𝒲 und die linearen Abbildungen L und L* bei nicht gültigem LOP


 

Abb. 3
Abb. 3 Die verschiedenen Unterräume von N und 𝒲, die linearen Abbildungen L, L*, π und der Bewertungsprozess Ψ bei vollständigem Marktmodell und gültigem LOP


Abb. 4
Abb. 4 Die verschiedenen Unterräume von N und 𝒲 und die linearen Abbildungen L und L* bei vollständigem Marktmodell und ungültigem LOP

 

2  Formales Wahrscheinlichkeitsmaß, Preismaß, Martingalmaß und risikoneutrales Wahr­schein­lich­keitsmaß 

In der zu diesem Thema gehörigen pdf-Datei werden auch noch ei­nige in der Literatur vielzitierte Begriffe im Mehrperioden­modell erläutert. Es sind dies die in der Überschrift aufgeführten Bezeichnungen und außerdem die Begriffe Arrow-Debreu-Preis, Zu­stands­­preis, Er­eignispreis, Arrow-Debreu-Preis­vektor, Zustandspreis­vek­tor, Ereig­nispreis­vek­tor, deterministischer Preisvektor und risikoneutrale Bewertung. Mittels der Dupli­zierbarkeit bestimmter Arrow-Debreu-Papiere (1t,C, C ∈ ℱt = σ(𝒫t)) werden dabei auch die meist weniger beachteten impliziten Prämissen darge­stellt, unter denen diese Begriffe erst einen Sinn haben. Bei vorliegender Arbitragefreiheit (AF) und unter der Voraussetzung (FH) der Existenz von sog. festverzinsli­chen Han­delsstrate­gien existiert das für alle Zeitpunkte t I einheitliche formale (synthetische) Wahrscheinlichkeitsmaß Q. Unter diesen Voraussetzungen kann dieses W-Maß Q auch Martingalmaß und risikoloses bzw. risikoneut­rales Wahrschein­lich­keitsmaß genannt werden. Außerdem kann unter diesen Voraussetzungen die Bewertung nach dem Duplikationsprinzip als Barwertberechnung (Diskontierung) mit dem deterministi­schen Preisvektor P := (d0,…,dT)T (dt = Φt(Ω)) für die Q-Erwartungswerte der Zustandsfunktionen Xt be­züg­lich des sog. risi­ko­neutralen W-Maßes Q interpretiert werden und daher risi­ko­neutrale Bewertung genannt werden. Weiter kann das W-Maß Q als Preismaß bezeichnet werden, wenn die Voraussetzungen (AF), (FH) und die Vollständigkeit (VS) des Marktmodells vorliegen.   

Literatur

[1]   Jürgen Kremer (2011), Portfoliotheorie, Risikomanagement und die Bewertung von Derivaten, Springer, Berlin Heidelberg, ISBN 978-3-642-20867-6

[2]   Rudolf Pleier (2015), Finanzmathematik, BoD, Norderstedt, ISBN 978-3-7347-8662-4